Архив по тэгу 'математика'
Опубликовано: 14 марта 2021 года
День числа Пи — неофициальный праздник, который отмечается любителями математики 14 марта в 1:59:26 в честь математической константы — числа пи.
Этот праздник придумал в 1987 году физик из Сан-Франциско Ларри Шоу, который заметил, что в американской системе записи дат (месяц / число) дата 14 марта — 3/14 — и время 1:59:26 совпадает с первыми разрядами числа π = 3,1415926…
Обычно празднуют в 1:59:26 дня (в 12-часовой системе), но придерживающиеся 24-часовой системы считают, что в этот момент время 13:59, и предпочитают отмечать праздник ночью.
В этот день читают хвалебные речи в честь числа π, его роли в жизни человечества, рисуют антиутопические картины мира без Пи, пекут и едят «пи-рог» («Pi pie») с изображением греческой буквы «пи» или с первыми цифрами самого числа, пьют напитки и играют в игры, начинающиеся на «пи», решают головоломки и загадки, водят хороводы вокруг предметов, связанных с этим числом.
Примечательно, что в этот же день родился Альберт Эйнштейн — создатель теории относительности, а также умер Стивен Хокинг.
Читать запись полностью »
Опубликовано: 24 июня 2018 года
Учёным удалось выполнить самую точную на сегодняшний день проверку общей теории относительности Эйнштейна в больших астрономических масштабах — за пределами Млечного Пути.
О достижении рассказа Европейская Южная Обсерватория (ESO).
Теория относительности Эйнштейна предсказывает, что тела деформируют пространство-время вокруг себя, что приводит к отклонению лучей света. Это явление называется гравитационным линзированием. Причём наблюдаться данный эффект может лишь у очень массивных объектов.
Важно отметить, что теория относительности Эйнштейна уже проходила проверку с очень высокой степенью точности в рамках различных исследовательских проектов. Но до сих пор такие работы выполнялись в масштабах Солнечной системы или звёзд в центре Млечного Пути.
На этот раз учёные зашли гораздо дальше.
Для исследований была выбрана близлежащая галактика ESO 325-G004, которая расположена в 450 миллионах световых лет от Земли. Наблюдения выполнялись с помощью орбитального телескопа «Хаббл» и инструмента MUSE, смонтированного на Очень Большом Телескопе ESO.
Галактика ESO 325-G004 действует как сильная гравитационная линза — она искривляет свет, идущий от расположенной за ней далёкой галактики.
Читать запись полностью »
Опубликовано: 6 мая 2018 года
Математик Дэвид Вольперт (David Wolpert) из Института Санта-Фе (США) математически формализовал невозможность существования всеведущего существа.
Ученый использует понятие «машина вывода» (англ. Inference Devices) — устройство, которое способно получать информацию о Вселенной с помощью наблюдений за текущими процессами, сохранять их в памяти и правильно предсказывать их итог. Таким устройством может быть сверхъестественное существо или ученый, вооруженный суперкомпьютером с неограниченными возможностями.
Согласно формальной логике, машина способна ответить на вопрос о состоянии Вселенной в данный момент времени, однако и сам вопрос, и способ, с помощью которого был получен ответ, зависят от состояния самой Вселенной.
Иными словами, законы Вселенной накладывают ограничения на то, что устройство способно знать. То же самое касается и способности предсказать будущее состояние. По словам Вольперта, это можно рассматривать как расширенный аналог высказывания, что любое предсказание будущего не учитывает влияние самого предсказания на будущее.
Математик продемонстрировал, что в одной и той же Вселенной не могут существовать две «машины вывода» со свободной волей и всезнанием.
Например, двое ученых — Боб и Алиса — обладают неограниченными вычислительными способностями. «Свободная воля» в данном случае определяется как способность Боба задать себе вопрос, не ограничивая возможные вопросы, которые способна задать себе Алиса, и наоборот. Тогда возникнет парадоксальная ситуация, когда Боб не может предсказать, что подумает Алиса, если последняя попробует предсказать, о чем не думает Боб.
Читать запись полностью »
Опубликовано: 11 февраля 2018 года
Письма одного из самых известных правителей Испании Фердинанда ІІ Арагонского на протяжении веков не давали покоя историкам и математикам.
Переписка между монархом и его выдающимся полководцем генералом Гонсало де Кордовой, проигравшим лишь одно сражение, была надёжно защищена сложным шифром, использующим свыше двух сотен специальных знаков.
Наверняка в своё время противники короля Фердинанда прилагали немалые усилия для прочтения секретных посланий, но удалось это осуществить лишь спустя пять веков собственным разведывательным службам Испании, имеющим в своём распоряжении современные инструменты компьютерного анализа, что говорит о высокой степени криптозащиты.
В течение сорокалетнего правления королю Фердинанду ІІ удалось завершить в 1492 году Реконкисту, освободив из-под власти маврских исламских эмиров и объединив большую часть испанских земель, открыть Америку в результате путешествия Христофора Колумба, провести успешные военные кампании за доминирование в Западной Европе, контроль над Италией и Средиземным морем.
Письма посвящены кампаниям начала XVI века и содержат подробности от инструкций военачальнику по развёртыванию войск до предостережений не консультироваться с королём до начала дипломатических инициатив.
В то время требовалось около 15 дней для доставки писем между монаршей резиденцией и юго-восточной Италией, где находился командующий войсками.
Читать запись полностью »
Опубликовано: 6 сентября 2017 года
Американские математики открыли самое большое обобщенное число Ферма.
Найденное число равно 9194441048576 + 1 и содержит 6253210 знаков. В списке самых больших известных простых чисел оно заняло двенадцатое место.
Число 9194441048576 + 1 найдено в рамках проекта распределенных вычислений PrimeGrid на компьютере Сильвануса Циммермана из команды Aggie the Pew.
Параметры его машины: видеокарта Nvidia GeForce GTX 1060, процессор Intel Xeon E3-1225 v3 с тактовой частотой 3,20 гигагерца, оперативная память 8 гигабайт, операционная система Microsoft Windows 10 Pro.
Проверка подтвердила правильность результата Циммермана. Обобщенное число Ферма представляется в виде a2n + b2n, число 9194441048576 + 1 стало первым таким числом для n = 20.
Читать запись полностью »
Опубликовано: 23 февраля 2017 года
Канадские, итальянские и британские ученые заявили, что нашли первые существенные доказательства того, что Вселенная — сложнейшая голограмма. Для этого они изучили неоднородность реликтового излучения («послесвечение» Большого взрыва).
На иллюстрации, представленной исследователями, изображена временная лента. Слева, в самом ее начале, находится мутная и нечеткая голографическая фаза.
Нечеткость обусловлена тем, что время и пространство еще не сформированы. Здесь Вселенная максимально приближена к моменту Большого взрыва — она якобы плоская. Это своего рода матрица, из которой потом возникает объем.
К концу голографической фазы пространство обретает геометрические формы — показано на 3 эллипсе — и уже описывается уравнениями Эйнштейна. Спустя 375 000 лет появилось реликтовое или космическое микроволновое фоновое излучение.
Оно содержало в себе шаблоны для развития звезд и галактик более поздней версии Вселенной — крайнее правое изображение. Другими словами, есть плоская 2D-вселенная в другом измерении, которая «проецирует» нашу.
Теория о том, что Вселенная является голограммой высокого разрешения, появилась в 1997 году. Один аргентинский математик придумал объединить теорию относительности с квантовой физикой. Согласно его гипотезе, модель всей нашей трехмерной реальности вместе со временем содержится в плоских 2D-границах.
Читать запись полностью »
Опубликовано: 20 января 2016 года
Математик Кертис Купер из Центрального университета Миссури в городе Уорренсберг открыл новое наибольшее из известных науке простое число. Оно равно 274207281 – 1 и содержит 22 338 618 цифр.
Простым числом называется натуральное число, имеющее только два делителя — единицу и себя само. Открытое число получено в рамках проекта GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), применяющего компьютеры пользователей интернета.
Распространенный алгоритм обнаружения таких объектов основан на их поиске в форме чисел Марена Мерсенна, имеющих вид 2p – 1, где p также является простым числом.
При помощи этого алгоритма обнаружено 15 последних и самых больших простых чисел.
Ранее наибольшее известное простое число было открыто также Купером (в 2013 году) при помощи GIMPS. Число оказалось равным 257885161 – 1 и содержало более 17 миллионов цифр. Тогда за свое открытие Купер получил от GIMPS три тысячи долларов.
В настоящее время известно 49 простых чисел Мерсенна.
Ученые полагают, что количество простых чисел бесконечно.
Их нахождение представляет интерес для компьютеров — недавно GIMPS помог обнаружить ошибку в процессорах Intel Skylake, работающих при высокой загрузке.
Источник: Lenta.Ru
P.S.
Как уже рассказывал здесь, теория чисел и, в частности, простые числа имеют вполне практическое и очень важное в современное время применение. Речь идёт о средствах защиты информации, в том числе посредством шифрования и дешифрования, а также кодирования сигналов.
Есть такая наука криптология — «наука о шифровании и дешифрованиии». Подробнее об этом, в т.ч. о применении простых чисел, можно узнать из следующих лекционных статей блога:
Читать запись полностью »
Опубликовано: 25 января 2014 года
Число Пи (π) ≈
3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253
421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446
229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266
482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305
488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627
495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437
027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787
214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747
713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446
850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628
638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989380952572010654858632
788659361533818279682303019520353018529689957736225994138912497217752834791315155748572424541
506959508295331168617278558890750983817546374649393192550604009277016711390098488240128583616
035637076601047101819429555961989467678374494482553797747268471040475346462080466842590694912
933136770289891521047521620569660240580381501935112533824300355876402474964732639141992726042
699227967823547816360093417216412199245863150302861829745557067498385054945885869269956909272
107975093029553211653449872027559602364806654991198818347977535663698074265425278625518184175
746728909777727938000816470600161452491921732172147723501414419735685481613611573525521334757
418494684385233239073941433345477624168625189835694855620992192221842725502542568876717904946
016534668049886272327917860857843838279679766814541009538837863609506800642251252051173929848
Читать запись полностью »
Опубликовано: 8 февраля 2013 года
Американские математики, участвующие в проекте GIMPS, получили самое большое известное простое число — оно состоит из 17 миллионов цифр, его открытие позволит получить новые стойкие шифры, говорится в сообщении на сайте проекта.
Новое простое число, относящееся к классу простых чисел Мерсенна, записывается как 2^57885161-1, в нем 17425170 цифр.
Оно было получено 25 января 2013 года на компьютере одного из участников проекта GIMPS — профессора университета центрального Миссури Кертиса Купера (Curtis Cooper).
На проверку простоты нового числа ушло 39 дней работы персонального компьютера в Университете Центрального Миссури, где работает Купер.
Независимая проверка была осуществлена сразу тремя исследователями на разных машинах, включая 32-ядерный сервер, предоставленный компанией Новартис.
Для Кертиса Купера новый рекорд стал уже третьим — ранее самые большие простые числа ему удавалось обнаруживать в 2005 и 2006 годах.
В 2008 году математики из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе побили рекорд Купера, открыв уже упоминавшееся простое число, записываемое 12 978 189 знаками.
За предыдущее открытие проект GIMPS получил премию в 100 тысяч долларов от фонда EFF, обещанную за открытие первого простого числа, записываемого более чем 10 миллионами знаков.
Полученные деньги проект разделил на небольшие премии для поощрения следующих открытий — так, Купер с 48-м числом Мерсенна претендует на 3 тысячи долларов.
Прежнее самое большое простое число, полученное в 2008 году, содержало 12978189 цифр.
«Простые числа очень интересны не только математикам, но и обычным людям, потому что они применяются в криптографии, например, для банковских кодов. Все они основаны на больших простых числах. Чем больше простое число, тем устойчивее шифр. Поэтому есть большой интерес к ним», — пояснил РИА Новости сотрудник Математического института имени Стеклова РАН (МИАН) Николай Андреев.
Читать запись полностью »
Опубликовано: 22 января 2011 года
В продолжение курса лекций по криптологии поговорим сегодня об известнейшем асимметричном алгоритме шифрования RSA.
Краткая история появления
Несмотря на достаточно большое число различных систем с открытыми ключами, одной из наиболее популярных остается криптосистема RSA, созданная в 1977 г. и названная в честь ее создателей Рона Ривеста, Ади Шамиpа и Леонарда Эйдельмана. Они воспользовались тем фактом, что нахождение больших простых чисел в вычислительном отношении осуществляется легко, а разложение на множители произведения двух таких чисел – сложно.
В статье этих авторов, вышедшей в 1978 г., премия в сто долларов была назначена тому, кто первым расшифрует сообщение
686137546220614771409222543558829057599911257431987
469512093081629822514570835693147662883989628013391
99055182994515781515.
Метод шифрования был известен, единственное, что требовалось – разложить на два сомножителя 129-значное число, приведенное в этой статье.
Это было сделано только в 1994 г.
Задача была решена с помощью 600 человек и потребовала 220 дней и 1600 компьютеров, связанных через Internet.
Теоретические основы алгоритма RSA
Рассмотрим математические результаты, которые положены в основу этого алгоритма.
Определение 1. Сравнением целых чисел a и b будем называть соотношение между ними вида a = b + mk, означающее, что их разность (a – b) делится на заданное положительное число m, называемое модулем сравнения. При этом а называется вычетом числа b по модулю m.
Определение 2. Говорят, что два целых числа a и b сравнимы между собой и обозначают этот факт через a = b (mod m), если a и b имеют одинаковые остатки при делении на m.
Приведем некоторые очевидные свойства сравнений.
Читать запись полностью »
